יהיו \(A,B\) שני וקטורים בעלי אותו ממד \(N\).
\[
A^TB=\langle A,B\rangle
=
\sum_{i=1}^{N}a_i b_i
=
a_1b_1+\cdots+a_Nb_N
\]
התוצאה היא סקלר, כלומר מספר יחיד.
אלגברה ליניארית למדעי הנתונים
מכפלה פנימית inner product
מכפילים איברים מתאימים ומחברים את כל התוצאות. שני וקטורים נכנסים — מספר יחיד יוצא.
A = [1,2,3]
·
B = [0,5,0]
=
10
1·0 + 2·5 + 3·0 = 10
01
הגדרה
המכפלה הפנימית נקראת גם dot product או מכפלה סקלרית.
\[
\begin{bmatrix}
1\\2\\3
\end{bmatrix}^{T}
\begin{bmatrix}
0\\5\\0
\end{bmatrix}
=
1\cdot0+2\cdot5+3\cdot0
=
10
\]
NumPyשלוש דרכים שקולות
import numpy as np A = np.array([1, 2, 3]) B = np.array([0, 5, 0]) print(np.dot(A, B)) # 10 print(A @ B) # 10 print((A * B).sum()) # 10
02
מחשבון אינטראקטיבי
רואים את התרומה של כל זוג איברים לתוצאה הסופית.
הזינו שני וקטורים
1·0
0
2·5
10
3·0
0
\(A^TB\)
10
1·0 + 2·5 + 3·0
03
תכונות המכפלה הפנימית
כל התכונות משקופיות 54–55 נשמרו.
\[
A^TA=\sum_{i=1}^{N}a_i^2\ge0
\]
השוויון מתקיים אם ורק אם \(A=0\).
\[
A^TB=B^TA
\]
\[
(\alpha A)^TB
=
\alpha(A^TB)
\]
\[
(A+B)^TC
=
A^TC+B^TC
\]
הרחבת חוק הפילוג
\[
(A+B)^T(C+D)
=
A^TC+A^TD+B^TC+B^TD
\]
04
דוגמאות פשוטות
שקופיות 56–66: טריקים שימושיים באמצעות וקטורי היחידה ווקטור האחדים.
בחירת איבר יחיד
\[
e_i^TA=a_i
\]
וקטור היחידה \(e_i\) ״בוחר״ את האיבר ה-\(i\).
הדגמה מספרית: למה זה נכון?
ניקח:
\[
A=
\begin{bmatrix}
10\\20\\30\\40
\end{bmatrix},
\qquad
e_3=
\begin{bmatrix}
0\\0\\1\\0
\end{bmatrix}
\]
המכפלה הפנימית היא:
\[
e_3^TA
=
0\cdot10+0\cdot20+1\cdot30+0\cdot40
=
30
=
a_3
\]
כל האיברים מתאפסים חוץ מהמקום השלישי, כי רק שם ל-\(e_3\) יש ערך 1.
הפרש בין שני איברים
\[
(e_i-e_j)^TA=a_i-a_j
\]
הדגמה מספרית
נחשב את \(a_4-a_2\) עבור אותו וקטור:
\[
A=
\begin{bmatrix}
10\\20\\30\\40
\end{bmatrix},
\qquad
e_4-e_2=
\begin{bmatrix}
0\\-1\\0\\1
\end{bmatrix}
\]
\[
(e_4-e_2)^TA
=
0\cdot10-1\cdot20+0\cdot30+1\cdot40
=
20
=
a_4-a_2
\]
\(e_4\) בוחר את \(a_4\), ו-\(-e_2\) מחסיר את \(a_2\).
סכום איברי הווקטור
\[
\mathbf{1}^TA
=
\sum_{i=1}^{N}a_i
\]
הדגמה מספרית
\[
\mathbf1=
\begin{bmatrix}
1\\1\\1\\1
\end{bmatrix},
\quad
A=
\begin{bmatrix}
1\\2\\3\\4
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf1^TA
=
1\cdot1+1\cdot2+1\cdot3+1\cdot4
=
10
\]
וקטור האחדים אינו משנה אף איבר; הוא פשוט גורם לכל האיברים להיכנס לסכום.
ממוצע איברי הווקטור
\[
\left(\frac{1}{N}\mathbf{1}\right)^TA
=
\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}a_i
\]
הדגמה מספרית
עבור \(A=(1,2,3,4)\), יש \(N=4\):
\[
\left(\frac14\mathbf1\right)^TA
=
\frac14\cdot1+\frac14\cdot2+\frac14\cdot3+\frac14\cdot4
=
\frac{10}{4}
=
2.5
\]
קודם סוכמים את כל האיברים, ואז מחלקים במספר האיברים.
סכום של חלק מן האיברים
\[
\begin{bmatrix}
1\\0\\1\\0
\end{bmatrix}^{T}
\begin{bmatrix}
1\\2\\3\\4
\end{bmatrix}
=
1+3
=
4
\]
וקטור בינארי מסמן אילו איברים לכלול בסכום.
הדגמה מספרית: איך המסכה עובדת?
\[
\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix}^{T}
\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}
=
1\cdot1+0\cdot2+1\cdot3+0\cdot4
=
4
\]
1 אומר “קח את האיבר”, 0 אומר “אל תיקח אותו”.
סכום ריבועי האיברים
\[
A^TA
=
\sum_{i=1}^{N}a_i^2
\]
הדגמה מספרית
\[
A=
\begin{bmatrix}
1\\2\\3\\4
\end{bmatrix}
\]
\[
A^TA
=
1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3+4\cdot4
=
1^2+2^2+3^2+4^2
=
30
\]
כשכופלים וקטור בעצמו במכפלה פנימית, כל איבר מוכפל בעצמו.
NumPyאותם טריקים בקוד
A = np.array([1, 2, 3, 4]) print(A.sum()) # 10 print(A.mean()) # 2.5 print(A @ A) # 30 e3 = np.array([0, 0, 1, 0]) print(e3 @ A) # 3 mask = np.array([1, 0, 1, 0]) print(mask @ A) # 4
05
מכפלה פנימית של וקטורי בלוקים
הדוגמה המקורית משקופית 66.
\[
A=
\begin{bmatrix}
A_1\\A_2
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
B_1\\B_2
\end{bmatrix}
\]
\[
A^TB
=
A_1^TB_1+A_2^TB_2
\]
A₁
A₂
B₁
B₂
כל בלוק מוכפל בבלוק המתאים, ואז מחברים את התוצאות.
06
תרגול קצר
חישוב ישיר ושימוש בווקטורים מיוחדים.
משימה 1
\[
A=(2,-1,3),\qquad B=(4,5,-2)
\]
חשבו \(A^TB\).
\[
A^TB
=
2\cdot4+(-1)\cdot5+3\cdot(-2)
=
-3
\]
משימה 2
\[
A=(7,2,-1,5)
\]
כתבו מכפלה פנימית המחזירה \(a_2-a_4\), וחשבו את ערכה.
\[
(e_2-e_4)^TA
=
a_2-a_4
=
2-5
=
-3
\]
07
Take-home message
הבסיס לחלק הבא: שימושים במכפלה פנימית במדעי הנתונים.
1מכפלה פנימית מקבלת שני וקטורים שווי־ממד ומחזירה סקלר.
2מכפילים איברים מתאימים ומחברים.
3\(A^TA\) הוא סכום ריבועי האיברים ותמיד אינו שלילי.
4וקטור יחידה מאפשר לבחור איבר אחד או לחשב הפרש בין איברים.
5וקטור האחדים מאפשר לחשב סכום וממוצע.
6ב-NumPy משתמשים ב-
np.dot או באופרטור @.✓
מפת כיסוי של חומר המקור
שקופיות 51–66 נשמרו במלואן; נוספו הסברים, קוד, מחשבון ותרגול.