\[
s=w^Tf=\sum_{i=1}^{n}w_i f_i
\]
\(f\) הוא וקטור המאפיינים, \(w\) הוא וקטור המשקלים, ו-\(s\) הוא הציון הכולל.
המשמעות: כל מאפיין תורם לציון לפי חשיבותו.
אלגברה ליניארית למדעי הנתונים
שימושים במכפלה פנימית
ציון משוקלל, חפיפה בין קבוצות, תוחלת של משתנה מקרי וערך של פולינום — ארבעה רעיונות שונים, אותה פעולה מתמטית.
features · weights
→
score
binary vectors
→
common items
values · probabilities
→
E[X]
coefficients · powers
→
p(t)
01
ציון משוקלל במדעי הנתונים
וקטור מאפיינים מוכפל בווקטור משקלים ומחזיר total score.
מחשבון ציון משוקלל
FeatureValueWeightContribution
Experience
4
Exam
3.6
Projects
3.2
10.8
NumPyweighted score
import numpy as np features = np.array([8, 90, 4]) weights = np.array([0.5, 0.04, 0.8]) score = weights @ features print(score) # 10.8
02
Co-occurrence — מספר איברים משותפים
כאשר 1 מסמן הופעה ו-0 מסמן היעדר, המכפלה הפנימית סופרת חפיפות.
\[
A^TB
=
\sum_{i=1}^{n}a_i b_i
=
\#\{i:a_i=b_i=1\}
\]
לחצו על התאים כדי לשנות את הווקטורים:
A
1
0
1
1
0
1
0
0
B
1
1
0
1
0
1
1
0
3
איברים משותפים
NumPyספירת חפיפות
A = np.array([1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0]) B = np.array([1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0]) common = A @ B print(common) # 3
03
תוחלת של משתנה מקרי
וקטור ערכים כפול וקטור הסתברויות.
אם \(X\) הוא וקטור הערכים האפשריים של משתנה מקרי ו-\(P\) הוא וקטור ההסתברויות, אז:
\[
\mathbb{E}[X]
=
X^TP
=
\sum_{i=1}^{n}x_i p_i
\]
מחשבון תוחלת
Value
Probability
Contribution
0
5
6
11
סכום ההסתברויות הוא 1.
NumPyחישוב תוחלת
values = np.array([0, 10, 20]) probabilities = np.array([0.2, 0.5, 0.3]) expected_value = values @ probabilities print(expected_value) # 11.0
04
ערך של פולינום בנקודה
מקדמי הפולינום ווקטור החזקות יוצרים מכפלה פנימית.
נניח פולינום מדרגה \(n-1\):
\[
p(t)=c_0+c_1t+\cdots+c_{n-1}t^{n-1}
\]
נגדיר:
\[
c=
\begin{bmatrix}
c_0\\c_1\\\vdots\\c_{n-1}
\end{bmatrix},
\qquad
v(t)=
\begin{bmatrix}
1\\t\\\vdots\\t^{n-1}
\end{bmatrix}
\]
\[
p(t)=c^Tv(t)
\]
מחשבון פולינום ממעלה שלישית
1 + (-2)·2 + 3·2² + 1·2³
17
NumPyפולינום כמכפלה פנימית
coefficients = np.array([1, -2, 3, 1]) t = 2 powers = np.array([1, t, t**2, t**3]) value = coefficients @ powers print(value) # 17
05
תרגול קצר
לזהות את שני הווקטורים שמסתתרים בכל בעיה.
משימה 1 — score
\[
f=(5,8,2),\qquad w=(0.4,0.5,1.5)
\]
חשבו את הציון המשוקלל.
\[
w^Tf
=
0.4\cdot5+0.5\cdot8+1.5\cdot2
=
9
\]
משימה 2 — פולינום
נתון:
\[
p(t)=2-t+3t^2
\]
כתבו שני וקטורים שהמכפלה הפנימית שלהם שווה ל-\(p(4)\), וחשבו.
\[
c=(2,-1,3),
\qquad
v(4)=(1,4,16)
\]
\[
p(4)=c^Tv(4)=2-4+48=46
\]
06
Take-home message
אותו מבנה מתמטי חוזר בארבעה תחומים שונים.
1ציון משוקלל הוא מכפלה פנימית של מאפיינים ומשקלים.
2בווקטורים בינאריים, המכפלה סופרת הופעות משותפות.
3תוחלת היא מכפלה פנימית של ערכים והסתברויות.
4ערך פולינום הוא מכפלה של מקדמים בחזקות הנקודה.
5בכל דוגמה צריך לזהות: מהו וקטור הנתונים ומהו וקטור המשקלים.
6NumPy מאפשר לממש את כל הדוגמאות באמצעות האופרטור
@.✓
מפת כיסוי של חומר המקור
שקופיות 67–71 נשמרו; נוספו מחשבונים, קוד, הסברים ותרגול.