בונים וקטור חדש באמצעות סכום של וקטורים מוכפלים בסקלרים. מכאן מגיעים לממוצע, לצירוף אפיני ולצירוף קמור.
המונח המקורי מן השקופיות נשמר; לצדו מופיע גם המונח המקובל ״צירוף ליניארי״.
בהינתן וקטורים \(x_1,x_2,\ldots,x_m\) וסקלרים \(a_1,a_2,\ldots,a_m\), נגדיר:
הסקלרים \(a_1,\ldots,a_m\) נקראים מקדמים של הקומבינציה הליניארית.
הווקטור החדש מתקבל מחיבור הווקטורים לאחר הכפלתם במקדמים.
import numpy as np x1 = np.array([1, 2]) x2 = np.array([3, -1]) a1 = 2 a2 = -1 result = a1 * x1 + a2 * x2 print(result) # [-1 5]
משנים את המקדמים ורואים כיצד הווקטור החדש זז במישור.
זהו המשפט והדוגמה המקוריים משקופית 46.
כל מקדם הוא פשוט אחד מאיברי הווקטור \(b\).
e1 = np.array([1, 0, 0]) e2 = np.array([0, 1, 0]) e3 = np.array([0, 0, 1]) b = 1 * e1 - 2 * e2 + 4 * e3 print(b) # [ 1 -2 4]
סכום, ממוצע, קומבינציה אפינית וקומבינציה קמורה.
כאשר כל המקדמים שווים ל-\(1\):
הממוצע של \(m\) וקטורים מתקבל באמצעות מקדמים \(1/m\):
אם סכום כל המקדמים שווה ל-\(1\), נקבל קומבינציה אפינית.
המקדמים יכולים להיות גם שליליים.
אם המקדמים אי־שליליים וגם מסתכמים ל-\(1\), נקבל קומבינציה קמורה.
במקרה של שני וקטורים, התוצאה נמצאת על הקטע המחבר ביניהם.
ההמחשות משקופיות 49–50 נשמרות ומורחבות.
לכל ערך ממשי של \(\theta\), נקבל נקודה על הישר העובר דרך \(a\) ו-\(b\).
כעת הנקודה מוגבלת לקטע שבין \(a\) ל-\(b\).
הרחבה פרקטית לחומר: חישוב צירוף של מספר וקטורים.
import numpy as np def linear_combination(vectors, coefficients): if len(vectors) != len(coefficients): raise ValueError("מספר הווקטורים חייב להשתוות למספר המקדמים") matrix = np.vstack(vectors) coefficients = np.asarray(coefficients) return coefficients @ matrix vectors = [ np.array([1, 0]), np.array([0, 1]), np.array([2, 3]) ] result = linear_combination(vectors, [2, -1, 0.5]) print(result) # [3. 0.5]
מהגדרה פורמלית לחישוב ממשי.
חשבו \(3x_1-2x_2\).
האם המקדמים הבאים מגדירים קומבינציה אפינית? האם היא גם קמורה?
הסכום הוא \(1\), ולכן זו קומבינציה אפינית. אחד המקדמים שלילי, ולכן היא אינה קמורה.
מה צריך לזכור לפני שעוברים למכפלה פנימית?
שקופיות 43–50 נשמרו; נוספו הסברים, קוד, המחשות ותרגול.