אלגברה ליניארית למדעי הנתונים

פעולות בסיסיות בווקטורים

נחבר, נחסר, נכפיל בסקלר ונבצע פעולות איבר־איבר. כל פעולה תופיע גם בנוסחה, גם בהמחשה וגם ב-NumPy.

מתחילים לתרגול

a = [1, 5, 2]

b = [0, 8, 0]

a + b

[1, 13, 2]

חיבור וחיסור וקטורים

ניתן לחבר או להחסיר רק וקטורים בעלי אותו ממד.

הגדרה

פעולה איבר־איבר

\[ a+b= \begin{bmatrix} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ \vdots\\ a_n+b_n \end{bmatrix} \] \[ a-b= \begin{bmatrix} a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ \vdots\\ a_n-b_n \end{bmatrix} \]

הדוגמה מן השקופיות

\[ \begin{bmatrix} 1\\5\\2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\8\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\13\\2 \end{bmatrix} \]

כל איבר מתחבר לאיבר שנמצא באותו מקום.

המחשה גאומטרית: \(a+b\)

a₁ 3 a₂ 2 b₁ -2 b₂ 3

NumPyחיבור וחיסור

import numpy as np

a = np.array([1, 5, 2])
b = np.array([0, 8, 0])

print(a + b)   # [ 1 13  2 ]
print(a - b)   # [ 1 -3  2 ]

תכונות של חיבור וקטורי

החוקים נשמרים בדיוק כפי שהופיעו בשקופיות.

חוק החילוף — commutative law

\[a+b=b+a\]

סדר החיבור אינו משנה את התוצאה.

חוק הקיבוץ — associative law

\[a+(b+c)=(a+b)+c\]

אפשר לשנות את אופן הקיבוץ.

וקטור האפס

\[a+0=0+a=a\]

הוספת וקטור האפס אינה משנה את הווקטור.

וקטור נגדי

\[a-a=0\]

חיסור וקטור מעצמו נותן וקטור אפסים.

שקופיות 34–35 מציגות את חוק החילוף פעם בצורה גאומטרית ופעם בצורה אלגברית. כאן שתי ההמחשות אוחדו, אך התוכן לא הושמט.

כפל וקטור בסקלר

סקלר הוא מספר יחיד. הוא מכפיל כל איבר בווקטור.

הגדרה

\[ \alpha x= \alpha \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha x_1\\ \alpha x_2\\ \vdots\\ \alpha x_n \end{bmatrix} \]

כאשר \(|\alpha|>1\) הווקטור מתארך. כאשר \(0<|\alpha|<1\) הוא מתקצר. אם \(\alpha<0\), הכיוון מתהפך.

שינוי הסקלר

\(\alpha=\) 2

עבור \(x=(2,-1,3)\)

[4, -2, 6]

NumPyכפל בסקלר

x = np.array([2, -1, 3])
alpha = 2

result = alpha * x

print(result)
# [ 4 -2  6 ]

תכונות של כפל בסקלר

שלוש התכונות האלגבריות מן השקופיות.

קיבוץ סקלרים

\[(\alpha\beta)x=\alpha(\beta x)\]

פילוג מעל סכום סקלרים

\[(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x\]

פילוג מעל סכום וקטורים

\[\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y\]

בדיקה בקודהחוק השלישי

x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([4, 0, -1])
alpha = 3

left  = alpha * (x + y)
right = alpha * x + alpha * y

print(np.array_equal(left, right))
# True

כפל וקטורים איבר־איבר

לפעמים נכפיל שני וקטורים בעלי אותו ממד, רכיב מול רכיב.

\[ x\odot y= \begin{bmatrix} x_1y_1\\ x_2y_2\\ \vdots\\ x_ny_n \end{bmatrix} \]

x = [2, 3, 4]

⊙

y = [5, 0, -1]

[10, 0, -4]

NumPyהסימן * הוא כפל איבר־איבר

x = np.array([2, 3, 4])
y = np.array([5, 0, -1])

print(x * y)
# [10  0 -4]

לא להתבלבל: כפל איבר־איבר אינו מכפלה פנימית. מכפלה פנימית תופיע בנושא הבא ותיתן מספר יחיד.

תרגול קצר

נוסחה, חישוב וקוד — שלוש דרכים לאותה פעולה.

משימה 1

\[x=(1,-2,4),\qquad y=(3,5,-1)\]

חשבו \(x+y\), \(x-y\) ו-\(2x\).

\[ x+y=(4,3,3) \] \[ x-y=(-2,-7,5) \] \[ 2x=(2,-4,8) \]

משימה 2

\[x=(2,1,-3),\qquad y=(4,-2,5)\]

חשבו את המכפלה איבר־איבר \(x\odot y\).

\[x\odot y=(8,-2,-15)\]

Take-home message

מה חייבים לזכור לפני שעוברים לקומבינציות ליניאריות?

1חיבור וחיסור אפשריים רק כאשר הממדים שווים.

2חיבור וקטורים מתבצע איבר־איבר.

3כפל בסקלר מכפיל כל איבר בווקטור.

4חוקי החילוף, הקיבוץ והפילוג נשמרים.

5ב-NumPy הסימנים +, - ו-* פועלים איבר־איבר.

6כפל איבר־איבר אינו מכפלה פנימית.

✓

מפת כיסוי של חומר המקור

שקופיות 30–42 נשמרו; הוספנו המחשות, קוד ותרגול בלבד.

שקופית	החומר המקורי	המיקום החדש
30	כותרת 1.3 — פעולות בסיסיות	Hero
31	חיבור וחיסור של וקטורים בעלי ממד שווה	הגדרה + המחשה גאומטרית
32	דוגמה מספרית לחיבור	הדוגמה \([1,5,2]+[0,8,0]\)
33	חילוף, קיבוץ, אפס ווקטור נגדי	ארבעה כרטיסי חוקים
34–35	חוק החילוף בהמחשה גאומטרית ואלגברית	המחשה אינטראקטיבית + הערת כיסוי
36–38	הגדרת כפל וקטור בסקלר והמחשה גאומטרית	כפל בסקלר + מחוון אינטראקטיבי
39	\((\alpha\beta)x=\alpha(\beta x)\)	תכונות של כפל בסקלר
40	\((\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x\)	תכונות של כפל בסקלר
41	\(\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y\)	תכונות + בדיקת NumPy
42	כפל וקטורים איבר־איבר	הגדרה, דוגמה וקוד